用专业的数据告诉你“赌”的学问

纸扇墨客

从数学的角度看，投资与赌博没有本质的区别，都是在信息不完全，不确定的情况下决策，希望获得最大回报。

都说股市是赌场，但是赌也是有学问的。凯利公式就是这样一种学问。这个公式要解决的是赌博者多次下注时每次投入本金的最佳百分比。利用这个最佳百分比，赌博者可以获得最快的财富增长。

假设用投掷硬币的方式赌博。正面赢，获得下注的等额回报。反面输，损失全部下注。假设正面的概率为p，反面的概率为q，每次下注金额占本金的比例为f，原始本金为x，每次下注则为xf。那么选取什么样的f值能让n次投注后的财富增长最多呢？这就是凯利公式要解决的问题。

从上图可以看出经过n次投注后赌博者所剩的财富的公式。而我们需要找到一个最佳的f值，让这个n次投注后的终值与最初的x值的比例最大。这个比例可以稍加变换：

实际上就变成了求下面这个公式的最大值：

根据大数定律，可以进一步转换为：

取一阶导数，并令其等于零，则可以得出最佳的投注比例：

为了数学上的严谨性，我们还要看二阶导数：

由于二阶导数小于零，所以一阶导数在[0，1）区间是严格单调下降的。由于在原点处一阶导数大于零，在f趋近1时一阶导数趋近负无穷。

由于一阶导数的连续性，当f =p - q 的最佳投注比例时，财富增长存在一个唯一的最大值。

上面的情况是最简单的，赔率为1。另外，还可以有更复杂的，如赔率为b的情况（输则损失掉全部投注，赢则获得投注的b倍的奖金）。另外，如果输的时候不输掉全部投注，只输掉c倍（0< c < 1）的投注，赢的时候赢得投注的b倍的奖金。这些都是凯利公式的变种。

可以看出，当赔率b很高，即回报很高时，最佳投注比例为求极值:

即最佳投注比例与回报倍数b无关，而仅与胜率p有关。 无论回报有多高，如果胜率很低， 也不应该在超过胜率的百分比之上投入本金。

因此，投资，包括风险投资，是关于确定性的行业。在投资中，确定性比回报更重要。高回报并不能弥补高度的不确定性。一个投资，即使有一百万倍的回报，但如果赢的可能性只有5%，那也至多应该投入5%的本金。大多数赌徒和投资者根本不明白这个道理，总是追寻几万倍的高回报，而不是适当的回报加上高度的确定性。这就是赌徒们倾家荡产的数学原理。

值得注意的是，当赌输的时候只输掉很小一部分，即c是很小的百分数，而赢的回报非常高，即b是一个大于1的数时，f值可以大于1，也就是说借钱赌才是理性的。而且在这种情况下，即使赢的几率很小，远低于输的几率也没关系，借钱赌也是合理的，因为赢的回报远高于输的损失。这其实就是泡沫的一个内在原因之一。当赌输的损失不大，而赢的回报非常高，借钱去赌是一种理性的选择。虽然大家都知道泡沫不可持续，泡沫继续上涨的几率远低于下跌的几率，但是只要输的损失不大（如政府救市兜底），赢的回报足够大，大家还是会趋之若鹜，疯狂推高泡沫。这其实是非理性中的理性选择。

虽然凯利公式非常有意义，但应用在股票中还要更复杂的计算，涉及到协方差。凯利公式的条件是各次投注是独立的事件，而股票市场的投资很难做到独立。而且，当投资的股票超过一个时，由于股票之间的相关性，就不能简单的应用基本凯利公式。对于没有复杂模型和大型计算机的普通投资者，基本面分析还是一切的基础。而且很多股票的投资回报的大小及概率还要依靠基本面分析。股票投资没有万能的公式。

好大雨

太难，没看懂。

wwb

凯利公式是在固定概率的情况下追求胜率达到最终盈利的公式，而德州扑克和交易市场的概率和胜率都是模糊移动的，所以很难有用

39n119e

好文章！

不靠谱先森

数学太差，不看了

zuimengyuan

基础太差了。看的似懂非懂